Resolva as equações:
log (2-x)(2 x^3-x^2-18 x+8)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
log(2-x)l(2x^3-x^2-18x+8r)=3
O conteúdo é propriedades de logaritmos: precisamos usar condições de existência do logaritmo e a definição
logb(A)=C implica A=b^C.

Passo 2

Estabelecer as condições de existência do logaritmo:
  1. A base b=2-x deve satisfazer b>0 e bneq1.
  2. O argumento A=2x^3-x^2-18x+8 deve satisfazer A>0.

Passo 3

Aplicar a definição de logaritmo para converter em equação algébrica:
2x^3-x^2-18x+8 = (2-x)^3

Passo 4

Expandir (2-x)^3 e montar a equação polinomial:
(2-x)^3 = 8 -12x +6x^2 -x^3,
então
2x^3-x^2-18x+8 -l(8 -12x +6x^2 -x^3r)=0
3x^3-7x^2-6x=0
xl(3x^2-7x-6r)=0
3x^2-7x-6=0 implies x=7pm116implies x=3,;x=-tfrac23
As raízes são x=0, x=3 e x=-tfrac23.

Passo 5

Verificar cada raiz nas condições de existência:
  • x=0: base 2-0=2>0, 2neq1; argumento 2cdot0-0-0+8=8>0. Válido.
  • x=3: base 2-3=-1not>0. Inválido.
  • x=-tfrac23: base 2-(-tfrac23)=tfrac83>0, tfrac83neq1; argumento calculado dá tfrac51227>0. Válido.

Resposta

As soluções reais são
x=0, x=-tfrac23

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