Resolva as equações:
log (x+5)(3 x^2-5 x-8)=log (x+5)(2 x^2-3 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
log(x+5)l(3x^2-5x-8r)=log(x+5)l(2x^2-3xr).
O conteúdo é equações envolvendo logaritmo com base variável. Vamos precisar determinar o domínio (base e argumentos positivos e base neq 1) e depois usar a propriedade de igualdade de logaritmos de mesma base.

Passo 2

Determinamos o domínio:
1. Base positiva e neq 1:
-5<x e x+5neq1, ou seja,
x>-5 e xneq-4.
2. Argumentos positivos:
3x^2-5x-8>0, 2x^2-3x>0
A primeira dá raízes em x=-1 e x=8/3 e abre para cima, logo
3x^2-5x-8>0 em x<-1 ou x>8/3.
A segunda fatorada é x(2x-3)>0, logo
2x^2-3x>0 em x<0 ou x>3/2.
Intersectando todas as condições obtemos
xin(-5,-4)cup(-4,-1)cupl(8/3,inftyr)

Passo 3

Dentro desse domínio, como a função logaritmo de base positiva neq 1 é injetora,
log(x+5)l(3x^2-5x-8r) =log(x+5)l(2x^2-3xr) Longrightarrow 3x^2-5x-8=2x^2-3x

Passo 4

Resolvendo a equação dos argumentos:
3x^2-5x-8=2x^2-3x ;Longrightarrow; x^2-2x-8=0
As raízes são
x=2pmraiz4+322 =2pm62 ;Longrightarrow; x=4,;-2

Passo 5

Verificamos quais raízes caem no domínio xin(-5,-4)cup(-4,-1)cup(8/3,infty):
-2in(-4,-1) e 4in(8/3,infty). Ambas satisfazem todas as restrições.

Resposta

x=-2 e x=4

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