Resolva as equações:
log (x+1)(3 x+14)=log (x+1)(2-x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
log(x+1)(3x+14) ;=;log(x+1)(2-x)
O conteúdo envolvido é logaritmo com base variável. Para resolver, precisamos determinar primeiro o domínio de definição (base e argumentos devem ser válidos) e depois usar a propriedade de igualdade de logaritmos.

Passo 2

Determinamos o domínio de definição:
  1. A base x+1 deve satisfazer
x+1>0 e x+1neq1
Isto dá
x>-1 e xneq0
  1. Os argumentos do logaritmo devem ser positivos:
3x+14>0 Longrightarrow x>-tfrac143,
2-x>0 Longrightarrow x<2
Juntando tudo, o domínio é
-1 < x < 2 com xneq0

Passo 3

Dentro do domínio, a função log(x+1)(y) é bem definida. Para base neq1 e positiva, vale a propriedade
logb(A)=logb(B) Long<=ftrightarrow A=B
Aplicando aqui, igualamos os argumentos:
3x+14 = 2 - x
Resolvendo:
3x + x = 2 - 14 Longrightarrow 4x = -12 Longrightarrow x = -3

Passo 4

Verificamos se x=-3 está no domínio -1<x<2. Como -3<-1, esse valor não pertence ao domínio. Logo, não existe x que satisfaça a equação dentro do domínio de definição.

Resposta

A equação não possui solução.

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