Resolva as equações:
log (x-2)(2 x^2-11 x+16)=2

Passo 1

O enunciado nos pede para resolver log(x-2)l(2x^2-11x+16r)=2. O conteúdo é equação logarítmica; vamos precisar conhecer o domínio da função logaritmo e usar a definição
logb(A)=CLong<=ftrightarrow b^C=A

Passo 2

Analisar o domínio da expressão:
  • A base b=x-2 deve satisfazer b>0 e bneq1, ou seja
x>2 e xneq3
  • O argumento 2x^2-11x+16 precisa ser positivo:
2x^2-11x+16>0

Passo 3

Aplicar a definição de logaritmo:
log(x-2)l(2x^2-11x+16r)=2 Longrightarrow (x-2)^2 = 2x^2 - 11x + 16
Desenvolvendo,
x^2 - 4x + 4 = 2x^2 - 11x + 16 Longrightarrow x^2 - 7x + 12 = 0,
cuja solução é
x=3 ou x=4

Passo 4

Testar as raízes no domínio:
  • Para x=3, a base fica x-2=1, o que é proibido em logaritmo.
  • Para x=4, a base é 2>0 e diferente de 1, e o argumento vale
2cdot4^2 - 11cdot4 + 16 = 32 - 44 + 16 = 4 > 0
Portanto, só x=4 atende todas as condições.

Resposta

x=4

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