Resolva as equações:
1-log x2+log x-1+log x2-log x=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
1-log x2+log x-1+log x2-log x=2
O conteúdo envolvido é manipulação de expressões racionais em log x. Para resolver, vamos usar a substituição log x = t, fazer a álgebra dos quocientes e depois voltar para x.

Passo 2

Definimos
t = log x,
com domínio x>0Rightarrow tinR, mas excluímos os valores que anulam denominadores: 2+tneq0 e 2-tneq0, ou seja, tneq -2 e tneq2. Substituindo na equação, temos
1-t2+t-1+t2-t=2

Passo 3

Vamos colocar o lado esquerdo sobre o mesmo denominador. O denominador comum é
(2+t)(2-t)=4-t^2
O numerador fica
(1-t)(2-t)-(1+t)(2+t)
Calculando cada parte:
(1-t)(2-t)=2-3t+t^2,
(1+t)(2+t)=2+3t+t^2,
logo o numerador total é
(2-3t+t^2)-(2+3t+t^2)=-6t
Portanto a equação vira
-6t4-t^2=2

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por 4-t^2:
-6t = 2(4-t^2)=8-2t^2
Reorganizando em forma de polinômio:
2t^2-6t-8=0Longrightarrow t^2-3t-4=0
As raízes são
t=3pmraiz9+162=3pm52,
isto é,
t=4ou t=-1
Ambos não violam tneqpm2.

Passo 5

Voltando a x pela definição t=log x:
log x =4Longrightarrow x=10^4,
log x = -1Longrightarrow x=10^-1
Verificamos que x>0 e não há conflito com os denominadores originais.

Resposta

x=10^-1 e x=10^4.

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