Resolva as equações:
(raiz[3]x)^log x(x^2+2)=2 cdot log 3 raiz27

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
l(raiz[3]xr)^logx!l(x^2+2r) ;=; 2;log3!raiz27
O conteúdo envolvido é manipulação de potências e propriedades de logaritmos, em particular usar
  1. logab como expoente de a,
  2. simplificar expressões do tipo l(a^mr)^n = a^mn,
  3. calcular logaritmos simples.

Passo 2

Calculemos primeiro o lado direito:
2;log3!raiz27 =2;log3l(27^tfrac12r) =2cdot12;log3(27) =log3(27) =log3(3^3) =3

Passo 3

Agora o lado esquerdo:
l(raiz[3]xr)^logx(x^2+2) =l(x^13r)^logx(x^2+2) =x^13;logx(x^2+2)
Usando a^logaM=M, temos
x^13;logx(x^2+2) =l(x^logx(x^2+2)r)^13 =(x^2+2)^13

Passo 4

Igualando os dois lados ficamos com
(x^2+2)^13=3 Longrightarrow x^2+2=3^3=27 Longrightarrow x^2=25 Longrightarrow x=pm5

Passo 5

Verificamos a condição de existência de logx(x^2+2): o base x deve ser >0 e xneq1. Dessarte x=-5 sai do domínio e x=1 também não serve.

Resposta

A única solução válida é x=5.

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