Resolva as equações a seguir, supondo que 0 <= x <= pi2.
sen(x2)+cos (x)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
sinl(tfracx2r) + cos(x) = 1
no intervalo 0 <= x <= tfracpi2. O conteúdo aqui são equações trigonométricas e identidades de redução de ângulo. Vamos usar a identidade que expressa cos(x) em termos de sin(x/2).

Passo 2

A identidade de redução é
cos(x) = 1 - 2sin^2l(tfracx2r)
Substituindo isso na equação original obtemos
sinl(tfracx2r) + l[,1 - 2sin^2l(tfracx2r)r] = 1

Passo 3

Simplificando o lado esquerdo:
sinl(tfracx2r) + 1 - 2sin^2l(tfracx2r) = 1
pode ser rearranjado para
-2sin^2l(tfracx2r) + sinl(tfracx2r) + 1 - 1 = 0,
ou seja
-2sin^2l(tfracx2r) + sinl(tfracx2r) = 0

Passo 4

Multiplicando por -1 e reescrevendo:
2sin^2l(tfracx2r) - sinl(tfracx2r) = 0
Fatorando sin(x/2):
sinl(tfracx2r),l[,2sinl(tfracx2r) - 1r] = 0
Daqui vêm duas possibilidades:
sinl(tfracx2r)=0 ou 2sinl(tfracx2r)-1=0.

Passo 5

Resolver cada caso em 0 <= x <= tfracpi2:
  1. Se sinl(tfracx2r)=0, então tfracx2=0 (única solução em [0,pi/4]), logo x=0.
  2. Se 2sinl(tfracx2r)-1=0, então sinl(tfracx2r)=tfrac12. No intervalo tfracx2in[0,tfracpi4] a única solução é tfracx2=tfracpi6, daí x=tfracpi3.
Verificando na equação original: para x=0 e x=tfracpi3 vale
sin(x/2)+cos x=1.

Resposta

As soluções no intervalo dado são
x = 0 e x = pi3

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