Sabendo que sen(theta)=raiz2raiz3 e theta in[0^circ, 90^circ], determine os valores de sen(theta-30^circ) e cos (theta-30^circ).

Passo 1

O enunciado dá sen(theta)=raiz2raiz3 com thetain[0^circ,90^circ] e pede sen(theta-30^circ) e cos(theta-30^circ). Vamos usar a identidade de Pitágoras para achar cos(theta) e depois as fórmulas de ângulo diferença:
sen(a-b)=sen acos b - cos asen b,
cos(a-b)=cos acos b + sen asen b

Passo 2

Para encontrar cos(theta) usamos
sen^2(theta)+cos^2(theta)=1
Como sen(theta)=raiz2raiz3, temos
cos^2(theta)=1-23=13,
e, no primeiro quadrante, cos(theta)=1raiz3.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula de diferença para o seno:
sen(theta-30^circ) =sen(theta)cos(30^circ)-cos(theta)sen(30^circ)
Substituindo sen(theta)=tfracraiz2raiz3, cos(theta)=tfrac1raiz3, cos(30^circ)=tfracraiz32 e sen(30^circ)=tfrac12, obtemos
sen(theta-30^circ) =raiz2raiz3cdotraiz32 -1raiz3cdot12 =raiz22-12raiz3
Para simplificar, colocamos no mesmo denominador:
sen(theta-30^circ) =raiz6-12raiz3 =( raiz6-1)raiz32cdot3 =3raiz2-raiz36

Passo 4

Agora a fórmula de diferença para o cosseno:
cos(theta-30^circ) =cos(theta)cos(30^circ)+sen(theta)sen(30^circ)
Substituindo os valores,
cos(theta-30^circ) =1raiz3cdotraiz32 +raiz2raiz3cdot12 =12+raiz22raiz3 =raiz3+raiz22raiz3
Racionalizando,
cos(theta-30^circ) =(raiz3+raiz2)raiz32cdot3 =3+raiz66

Resposta

sin(theta-30^circ)=3raiz2-raiz36\n cos(theta-30^circ)=3+raiz66

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