Resolva as equaçōs:
x^6-28 x^3+27=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
x^6-28,x^3+27=0
O conteúdo aqui é resolução de polinômio de grau 6 que envolve apenas potências de x^3, então vamos usar a substituição t = x^3 para reduzir a um caso de equação quadrática.

Passo 2

Fazendo t = x^3, a equação fica
t^2 - 28,t + 27 = 0

Passo 3

Para resolver
t^2 - 28,t + 27 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
De<a = (-28)^2 - 4cdot1cdot27 = 784 - 108 = 676 = 26^2,
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t = 28 pm 262 Longrightarrow t = 27 ou t = 1

Passo 4

Voltando a x, primeiro caso:
x^3 = 27
As três raízes cúbicas de 27 são
x = 3, x = 3,e^2pi i/3, x = 3,e^4pi i/3
Convém definir omega = e^2pi i/3, então essas raízes ficam 3, 3omega e 3omega^2.

Passo 5

Segundo caso:
x^3 = 1
As três raízes cúbicas de 1 são
x = 1, x = e^2pi i/3, x = e^4pi i/3,
ou seja 1, omega e omega^2.

Passo 6

Reunindo todas as raízes, temos as seis soluções complexas de x^6-28x^3+27=0:

Resposta

As soluções são
x = 3, 3omega, 3omega^2, 1, omega, omega^2,
onde omega = e^2pi i/3.

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