Resolva as equaçōs:
(x4 x+1)^2=(x4 x+1)+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
l(x4x+1r)^2 ;=;x4x+1+2
O conteúdo é equação racional que envolve a mesma expressão dentro e fora do quadrado. Vamos usar substituição para simplificar.

Passo 2

Observe que a expressão x4x+1 aparece repetida. Definimos
t = x4x+1
Mas atenção: o denominador não pode ser zero, logo devemos excluir x = -tfrac14.

Passo 3

Substituindo t na equação original, obtemos a equação quadrática
t^2 = t + 2 Longrightarrow t^2 - t - 2 = 0

Passo 4

Para resolver
t^2 - t - 2 = 0
calculamos o discriminante
De<a = (-1)^2 - 4cdot1cdot(-2) = 1 + 8 = 9,
portanto
t = 1 pm raiz92 = 1 pm 32,
resultando em
t = 2 ou t = -1

Passo 5

Voltemos a x. Para t=2 temos
x4x+1 = 2 Longrightarrow x = 2(4x+1) Longrightarrow x = 8x + 2 Longrightarrow -7x = 2 Longrightarrow x = -27

Passo 6

Para t=-1 temos
x4x+1 = -1 Longrightarrow x = -1,(4x+1) Longrightarrow x = -4x -1 Longrightarrow 5x = -1 Longrightarrow x = -15

Passo 7

Verificamos o denominador em cada solução:
para x=-tfrac27, 4x+1=-tfrac87+1=-tfrac17neq0;
para x=-tfrac15, 4x+1=-tfrac45+1=tfrac15neq0.
Assim, não há soluções extranhas, e ambos satisfazem a equação original.

Resposta

As soluções são
x = -27 e x = -15

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