Resolva as inequaçōes
(x-2)(x^2-x-12)-3 x+6 >= 0

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos resolver a inequação racional
(x-2)l(x^2-x-12r)-3x+6>= 0
O conteúdo aqui é análise de sinal de expressão racional; para isso precisamos fatorar numerador e denominador, achar os pontos críticos (zeros e pontos de descontinuidade) e montar um quadro de sinais.

Passo 2

Fatoramos cada parte:
O numerador (x-2)(x^2-x-12) fatora-se como
(x-2)(x-4)(x+3),
pois x^2-x-12=(x-4)(x+3).
O denominador -3x+6 fatora-se como
-3(x-2)

Passo 3

Os pontos críticos vêm das raízes do numerador e do denominador:
– Numerador zero em x=2, x=4 e x=-3.
– Denominador zero em -3(x-2)=0implies x=2.
O ponto x=2 anula também o numerador, mas torna a expressão indeterminada (denominador zero), então deve ser excluído.

Passo 4

Vamos analisar o sinal de cada fator em cada intervalo determinado pelos pontos -3, 2 e 4:
Intervalo x+3 x-2 x-4 -3 sinal da fração
(-infty,-3) dfrac()()()()()=() (-3,2) + dfrac(+)()()()()=(+) (2,4) + + dfrac(+)(+)()()(+)=(+) (4,infty) + + + dfrac(+)(+)(+)()(+)=()
Aqui tratei o fator constante -3 do denominador como sempre negativo.

Passo 5

Buscamos onde a fração é não negativa ( >=0). Pelos sinais:
– é positiva em (-3,2) e em (2,4).
– Zera em x=-3 e em x=4, pois anula o numerador e o denominador não é zero nesses pontos.
x=2 é ponto de descontinuidade, não pode entrar.
Portanto a solução é
[-3,2);cup;(2,4]

Resposta

[-3,2)cup(2,4]

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