Resolva as inequações
c) (x-2)(2 x+6)x-5 <= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação fracionária
(x-2)(2x+6)x-5<= 0
O conteúdo aqui é análise de sinal de uma expressão racional. Vamos fatorar o numerador, encontrar os pontos críticos (onde numerador ou denominador se anulam) e estudar o sinal em cada intervalo.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o numerador:
2x+6 = 2(x+3),
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(x-2)(2x+6)x-5 = 2,(x-2)(x+3)x-5
O fator constante 2 é sempre positivo e não afeta o sinal. Os pontos críticos são:
x=-3, x=2(zeros do numerador), x=5(zero do denominador)

Passo 3

Dividimos a reta real em quatro intervalos pelos pontos -3,2,5 e testamos o sinal de cada fator:
  • Em (-infty,-3):
    x+3<0,;x-2<0,;x-5<0.
    Numerador (x-2)(x+3)>0 (produto de dois negativos) e denominador x-5<0,
    portanto a fração é negativa.
  • Em (-3,2):
    x+3>0,;x-2<0,;x-5<0.
    Numerador <0 (positivo vezes negativo) e denominador <0,
    fração positiva.
  • Em (2,5):
    x+3>0,;x-2>0,;x-5<0.
    Numerador >0 e denominador <0,
    fração negativa.
  • Em (5,infty):
    x+3>0,;x-2>0,;x-5>0.
    Numerador >0 e denominador >0,
    fração positiva.
Além disso, em x=-3 e x=2 a expressão vale zero (numerador nulo), e em x=5 a expressão é indefinida (denominador zero).

Passo 4

Queremos os x em que a fração é <=0. Pelas análises, isso ocorre onde o sinal é negativo ou zero, isto é:
(-infty,-3]cup[2,5)

Resposta

(-infty,-3]cup[2,5)

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