Resolva as inequações.
log 2(x-3) <= 3-log 2(x+4)

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação
log2(x-3) <= 3 - log2(x+4).
O conteúdo aqui envolve logaritmos de base 2>1 (função crescente), então vamos determinar o domínio dos logaritmos, usar a propriedade de soma de logaritmos para transformá-los em produto e depois resolver a inequação resultante (que será quadrática).

Passo 2

Determinamos o domínio exigido pelos argumentos dos logaritmos:
x-3>0e x+4>0
Logo,
x>3e x>-4Longrightarrow x>3

Passo 3

Reescrevemos a inequação isolando a soma de logaritmos:
log2(x-3) + log2(x+4);<=;3
Pela propriedade
log2A + log2B = log2(A,B), obtemos
log2l((x-3)(x+4)r)<=3

Passo 4

Como log2 é crescente, podemos retirar o logaritmo elevando ambos os lados como potência de 2:
(x-3)(x+4);<=;2^3=8
Expandindo o produto:
x^2+x-12<=8 Longrightarrow x^2+x-20<=0

Passo 5

Resolvemos a inequação quadrática
x^2+x-20<=0
O discriminante é
De<a = 1^2-4cdot1cdot(-20)=1+80=81,
raiz raizDe<a=9, raízes
x=-1pm92;Longrightarrow;x=-5ou x=4
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima e a inequação x^2+x-20<=0 vale para
-5<= x<=4

Passo 6

Interseccionamos essa solução com o domínio x>3:
-5<= x<=4 cap x>3 Longrightarrow 3< x<=4

Resposta

xin(3,4]

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