Resolva as inequações.
(2^2 x)^x+2 <= 2^5 x+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação exponencial
l(2^2xr)^x+2<= 2^5x+1
O conteúdo aqui é inequações envolvendo potências de base maior que 1. Vamos usar propriedades de potência para comparar expoentes e, em seguida, resolver uma inequação quadrática.

Passo 2

Aplicamos a propriedade de potências
(a^b)^c = a^b,c
para reescrever o lado esquerdo. Assim,
l(2^2xr)^x+2 = 2^2x,(x+2) = 2^2x^2+4x

Passo 3

Como a base 2 é maior que 1, a função 2^t é crescente e podemos comparar diretamente os expoentes. A inequação
2^2x^2+4x<= 2^5x+1
é equivalente a
2x^2+4x <= 5x+1

Passo 4

Reorganizamos a desigualdade para obter uma forma quadrática padrão:
2x^2 +4x -5x -1 <= 0 Longrightarrow 2x^2 - x -1 <= 0
Calculamos as raízes de 2x^2 - x -1=0 pelo discriminante:
De<a = (-1)^2 -4cdot2cdot(-1) =1+8=9,
x = 1pmraiz92cdot2 = 1pm34
Logo as raízes são
x1 = 1-34 = -tfrac12, x2 = 1+34 = 1

Passo 5

Como o coeficiente de x^2 em 2x^2 - x -1 é positivo, o polinômio abre para cima e fica não positivo entre as raízes. Portanto a solução da inequação é
-tfrac12 <= x <= 1

Resposta

[ - tfrac12,;1 ]

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