Resolva as inequações.
log (x-1)+log (x+3) <= log (2 x+1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
log(x-1)+log(x+3)<=log(2x+1)
Isso é um problema de inequação logarítmica. Vamos precisar (1) determinar o domínio em que todos os logaritmos existem e (2) usar a monotonicidade do logaritmo (base maior que 1) para transformar em uma inequação de expressão algébrica.

Passo 2

Encontrar o domínio exige que os três argumentos dos logs sejam positivos:
x-1>0, x+3>0, 2x+1>0
As duas primeiras levam a x>1 e x>-3, ou seja x>1. A terceira dá x>-tfrac12, mas isso já está contido em x>1.
Logo o domínio é
x>1

Passo 3

Como o logaritmo é estritamente crescente (base maior que 1), a inequação
log(x-1)+log(x+3)<=log(2x+1)
é equivalente a
logl((x-1)(x+3)r)<=log(2x+1) Long<=ftrightarrow (x-1)(x+3)<= 2x+1,
contanto que estejamos no domínio x>1.

Passo 4

Vamos resolver
(x-1)(x+3)<= 2x+1
Expandindo e simplificando:
x^2+2x-3<=2x+1 Longrightarrow x^2-4<=0 Longrightarrow (x-2)(x+2)<=0
A solução dessa inequação quadrática é
-2<= x<=2

Passo 5

Agora fazemos a interseção da solução algébrica -2<= x<=2 com o domínio x>1.
Isto dá
1< x<=2

Resposta

A solução da inequação é
(1,,2]

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