Resolva as inequações.
raiz9 x^2-1 >= 2-3 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
raiz9x^2 - 1 ;>=; 2 - 3x
O conteúdo é inequação com radical: precisamos determinar o domínio do radical, analisar o sinal do lado direito e, quando for seguro, elevar ao quadrado.

Passo 2

Determinar o domínio de raiz9x^2 - 1.
Para ter 9x^2 - 1>=0 é necessário
9x^2 >= 1 Longrightarrow x^2 >= tfrac13 Longrightarrow |x|>= tfrac13
Logo o domínio é
(-infty,-tfrac13];cup;[tfrac13,infty)

Passo 3

Analisar o sinal de 2-3x. Há dois casos:
  • Caso A: 2-3x<0,
  • Caso B: 2-3x>=0.

Passo 4

Caso A: 2-3x<0.
Isso equivale a
2 - 3x < 0 ;Longrightarrow; -3x < -2 ;Longrightarrow; x > tfrac23
Para x>tfrac23 o lado direito é negativo, enquanto raiz9x^2-1>=0. Qualquer não-negativo é maior que um negativo, então a desigualdade vale para todo x>tfrac23 que esteja no domínio. Como x>tfrac23>tfrac13, já está no domínio.

Passo 5

Caso B: 2-3x>=0.
Isso equivale a
x <= tfrac23
Nesse caso ambos os lados são não-negativos, podemos elevar ao quadrado sem mudar o sentido:
9x^2 - 1 ;>=; (2 - 3x)^2 ;Longrightarrow; 9x^2 - 1 ;>=; 4 -12x + 9x^2 ;Longrightarrow; -1 ;>=; 4 - 12x ;Longrightarrow; -5 ;>=; -12x ;Longrightarrow; x ;>=; tfrac512
Unindo com x<=tfrac23 e o domínio |x|>=tfrac13, como tfrac512>tfrac13, obtemos
xinl[tfrac512,,tfrac23r]

Passo 6

Unindo as soluções dos dois casos:
l[tfrac512,,tfrac23r];cup;(tfrac23,infty) ;=; l[tfrac512,,inftyr)

Resposta

l[tfrac512,,inftyr)

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