Resolva as inequações.
3 x+102 x-5 >=-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
3x+102x-5 >= -3
O conteúdo envolvido é inequação racional: precisamos identificar o domínio (pontos em que o denominador zera), transformar tudo num único quociente e então analisar o sinal desse quociente.

Passo 2

Primeiro, o domínio exige
2x-5 neq 0 Longrightarrow x neq 52
Em seguida, vamos somar 3 aos dois lados para ter um único quociente:
3x+102x-5 + 3 >= 0
Colocando sobre o mesmo denominador:
3x+10 + 3(2x-5)2x-5 >= 0

Passo 3

Calcular o numerador:
3x+10 + 6x-15 = 9x - 5
Logo a inequação fica
9x - 52x - 5 >= 0

Passo 4

Identificamos os pontos críticos onde numerador ou denominador se anulam:
9x-5=0 Rightarrow x = 59, 2x-5=0 Rightarrow x = 52
Agora montamos o quadro de sinais de 9x-52x-5 nos intervalos determinados:
  • Em x<tfrac59: numerador 9x-5<0, denominador 2x-5<0 Rightarrow quociente >0.
  • Em tfrac59<x<tfrac52: numerador >0, denominador <0 Rightarrow quociente <0.
  • Em x>tfrac52: numerador >0, denominador >0 Rightarrow quociente >0.
    No ponto x=tfrac59 o quociente vale 0 (satisfeita a “ >=”), mas em x=tfrac52 ele é indefinido (fora do domínio).

Passo 5

Da análise de sinais concluímos que
9x-52x-5>=0
para
xin(-infty,tfrac59];cup;(tfrac52,infty)

Resposta

xin(-infty,tfrac59];cup;(tfrac52,infty)

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