Resolva as inequações.
3 x^2+2 x-13x^2-3 x-10 >= 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
3x^2+2x-13x^2-3x-10>= 2
O conteúdo envolve inequações de frações algébricas: vamos colocar tudo num único quociente, fatorar numerador e denominador e estudar o sinal.

Passo 2

Subtraímos 2 de ambos os lados e escrevemos num único quociente:
3x^2+2x-13x^2-3x-10-2 >= 0 Longrightarrow 3x^2+2x-13 - 2,(x^2-3x-10)x^2-3x-10>=0
No numerador:
3x^2+2x-13 -2x^2+6x+20 = x^2+8x+7
Logo a inequação vira
x^2+8x+7x^2-3x-10>=0

Passo 3

Fatoramos numerador e denominador:
x^2+8x+7=(x+1)(x+7), x^2-3x-10=(x-5)(x+2)
Portanto estudamos o sinal de
(x+7)(x+1)(x-5)(x+2)>=0

Passo 4

Os pontos críticos são zeros do numerador x=-7,,-1 e zeros do denominador x=-2,,5 (estes últimos excluídos). Ordenando na reta real:
-infty,,-7,,-2,,-1,,5,,+infty.
Em cada intervalo, o quociente é positivo se numerador e denominador tiverem mesmo sinal, e vale zero em x=-7 e x=-1. Testando ou usando regra dos sinais, obtemos:
– Para x< -7: positivo.
– Entre -7 e -2: negativo.
– Entre -2 e -1: positivo.
– Entre -1 e 5: negativo.
– Para x>5: positivo.

Passo 5

Como queremos >=0, incluímos os zeros do numerador e excluímos os zeros do denominador. A solução é
(-infty,-7],cup,(-2,-1],cup,(5,infty)

Resposta

xin(-infty,-7]cup(-2,-1]cup(5,infty)

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