Resolva as inequações.
raizx^2-4 x-12 <= 3 x+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
raizx^2-4x-12;<=;3x+2
O conteúdo aqui é inequação envolvendo radical. Para resolver, vamos:
  1. Determinar o domínio fazendo x^2-4x-12>=0.
  2. Analisar o sinal de 3x+2, pois só podemos comparar o radical (sempre não-negativo) com um lado direito não-negativo sem mudar o sentido ao elevar ao quadrado.
  3. Elevar ao quadrado quando ambos os lados forem >=0 e resolver a inequação resultante.

Passo 2

Encontrar o domínio exigido pelo radicando:
x^2-4x-12 >= 0
O discriminante é
De<a = (-4)^2-4cdot1cdot(-12)=16+48=64,
com raízes
x = 4pm82;Longrightarrow;x=-2ou x=6
Como a parábola abre para cima, temos
x<= -2ou x>= 6

Passo 3

Analisar o sinal de 3x+2:
  • Se 3x+2<0, isto é x<-tfrac23, então 3x+2 é negativo e raizcdot>=0 jamais será <= de algo negativo. Logo, não há soluções nessa faixa (nem nos pontos onde a raiz anula, pois ficaria 0<= número negativo, impossível).
  • Se 3x+2>=0, isto é x>=-tfrac23, podemos comparar e, se necessário, elevar ao quadrado sem trocar o sinal da inequação.
Interseção com o domínio x<=-2 ou x>=6 dá, no caso 3x+2>=0, apenas
x>=6

Passo 4

Para x>=6 temos raizx^2-4x-12>=0 e 3x+2>=0. Podemos elevar ambos os lados ao quadrado mantendo a inequação:
x^2-4x-12 ;<=;(3x+2)^2
x^2-4x-12 ;<=;9x^2+12x+4
0 ;<=;8x^2+16x+16
0 ;<=;8l(x^2+2x+2r)
Como x^2+2x+2=(x+1)^2+1>0 para todo x, essa última desigualdade é sempre verdadeira em xmid x>=6.

Resposta

A solução da inequação é
[6,infty)

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