Resolva as inequações.
4 x+5x+2 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
4x+5x+2>= 0
Trata-se de uma inequação racional de primeiro grau no numerador e denominador. Para solucioná-la, vamos identificar os pontos onde o numerador ou o denominador se anulam, dividir a reta nesses pontos e analisar o sinal de cada fator em cada intervalo.

Passo 2

Calculamos as raízes do numerador e do denominador.
A raiz do numerador 4x+5=0 é
x=-54
O ponto onde o denominador x+2=0 se anula é
x=-2

Passo 3

Esses pontos dividem a reta real em três intervalos:
(-infty,-2), (-2,-tfrac54) e (-tfrac54,infty).
Em cada intervalo, analisamos o sinal de 4x+5 e de x+2:
Para x< -2:
4x+5<0, x+2<0Longrightarrow4x+5x+2>0
Para -2<x<-tfrac54:
4x+5<0, x+2>0Longrightarrow4x+5x+2<0
Para x>-tfrac54:
4x+5>0, x+2>0Longrightarrow4x+5x+2>0
Em x=-tfrac54 o numerador zera, tornando o quociente igual a zero.

Passo 4

A inequação pede 4x+5x+2>= 0, ou seja, onde o quociente é positivo ou zero. Pelas análises de sinal, isso acontece em
(-infty,-2) e em [-,tfrac54,infty),
lembrando que x=-2 é excluído (denominador nulo).

Resposta

(-infty,-2);cup;[-tfrac54,infty)

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