Resolva as inequações.
x^2+2 x+3x+15 <= 1

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos resolver a inequação racional
x^2+2x+3x+15 <= 1
O conteúdo é inequação envolvendo uma razão de polinômios. Para resolver, vamos transformar tudo num único quociente, identificar zeros do numerador e pontos de descontinuidade (denominador zero), e analisar o sinal desse quociente em cada intervalo.

Passo 2

Subtraímos 1 de ambos os lados para obter uma única fração:
x^2+2x+3x+15 - 1 <= 0
Em seguida, colocamos tudo sobre o mesmo denominador:
x^2+2x+3 - (x+15)x+15 <= 0

Passo 3

No numerador, fazemos a operação:
x^2+2x+3 - (x+15) = x^2 +2x +3 -x -15 = x^2 + x -12
Logo a inequação vira
x^2+x-12x+15 <= 0
E o numerador fatorado é
x^2+x-12 = (x+4)(x-3),
ficando
(x+4)(x-3)x+15 <= 0

Passo 4

Os pontos críticos são onde o numerador zera ( x=-4 ou x=3) e onde o denominador zera ( x=-15, ponto de descontinuidade). Esses valores dividem a reta real em quatro intervalos:
(-infty,-15), (-15,-4), (-4,3), (3,infty)

Passo 5

Analisamos o sinal de (x+4)(x-3)x+15 em cada intervalo:
  • Para x< -15: x+4<0, x-3<0 Rightarrow numerador >0; denominador x+15<0 Rightarrow quociente <0. Satisfaz <=0.
  • Para -15<x< -4: x+4<0, x-3<0 Rightarrow numerador >0; denominador >0 Rightarrow quociente >0. Não satisfaz.
  • Para -4<x<3: x+4>0, x-3<0 Rightarrow numerador <0; denominador >0 Rightarrow quociente <0. Satisfaz.
  • Para x>3: x+4>0, x-3>0 Rightarrow numerador >0; denominador >0 Rightarrow quociente >0. Não satisfaz.
Nos pontos onde o numerador zera ( x=-4 e x=3), o valor da fração é zero (denominador neq 0), e como a desigualdade é “ <=0”, incluímos esses zeros. Já x=-15 não pode ser incluído (denominador zero).

Resposta

(-infty,-15),cup,[, -4,,3,]

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