Resolva as inequações.
raiz8 x+9 <= 2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
raiz8x+9<= 2x+1
que envolve uma raiz quadrada e uma expressão linear no lado direito. Para resolver, vamos precisar (i) garantir o domínio onde a raiz está definida, (ii) impor que o lado direito seja não-negativo e (iii) elevar ao quadrado de forma válida.

Passo 2

Analisando o domínio da raiz, precisamos de
8x+9>= 0
que dá
x>= -98
Além disso, como raiz8x+9>=0, para raiz8x+9<= 2x+1 faz sentido só se
2x+1>=0
isto é
x>= -tfrac12
Portanto até agora temos a condição
x>= -tfrac12

Passo 3

Nesse intervalo l[x>= -tfrac12r], podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem inverter o sinal:
l(raiz8x+9r)^2 <= (2x+1)^2

Passo 4

Expandindo e simplificando:
8x+9 <= 4x^2 +4x +1
0 <= 4x^2 +4x +1 -8x -9
0 <= 4x^2 -4x -8
0 <= x^2 - x -2

Passo 5

A inequação quadrática
x^2 - x -2 >= 0
tem raízes em x=-1 e x=2, e seu sinal é não-negativo para
xin(-infty,-1]cup[2,infty)
Intersectando isso com x>= -tfrac12 sobra
xin[2,infty)

Resposta

[2,infty)

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