Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede que a gente resolva a inequação
que é uma inequação racional. Para isso vamos precisar identificar o domínio (onde as frações fazem sentido), colocar tudo num único lado para obter uma fração e depois estudar o sinal dessa fração para encontrar os
que satisfazem a desigualdade.
Passo 2
Determinamos o domínio observando que as expressões
e
exigem
e
. Logo,
Passo 3
Passamos tudo para o lado esquerdo, reduzimos ao mesmo denominador e simplificamos:
No numerador temos
Portanto a inequação vira
Passo 4
Fatoramos o numerador
:
Assim a expressão a estudar é
Passo 5
Os pontos críticos são as raízes do numerador e as raízes do denominador:
Em cada faixa testamos o sinal de cada fator:
- Para
: todos os fatores de primeiro grau mudam de sinal de acordo com , o quociente fica positivo. - Para
: o numerador é negativo e o denominador positivo, quociente negativo. - Para
: numerador negativo, denominador negativo, quociente positivo. - Para
: numerador negativo, denominador positivo, quociente negativo. - Para
: numerador e denominador positivos, quociente positivo.
Além disso, queremos, ou seja, valem as faixas onde o quociente é negativo e também os zeros do numerador (onde a expressão vale zero), isto é e .
Passo 6
Juntando tudo, respeitando
, a solução é