Resolva as inequações.
1+2x+1 <= 2x

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a inequação
1 + 2x+1 <= 2x,
que é uma inequação racional. Para isso vamos precisar identificar o domínio (onde as frações fazem sentido), colocar tudo num único lado para obter uma fração e depois estudar o sinal dessa fração para encontrar os x que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Determinamos o domínio observando que as expressões tfrac2x+1 e tfrac2x exigem x+1neq0 e xneq0. Logo,
domínio: xneq -1,;xneq0 í

Passo 3

Passamos tudo para o lado esquerdo, reduzimos ao mesmo denominador e simplificamos:
1 + 2x+1 - 2x <= 0 Longrightarrow 1cdot x(x+1) + 2x - 2(x+1)x(x+1) <= 0
No numerador temos
x(x+1) + 2x - 2x - 2 = x^2 + x - 2
Portanto a inequação vira
x^2 + x - 2x(x+1) <= 0

Passo 4

Fatoramos o numerador x^2 + x - 2:
x^2 + x - 2 = (x-1)(x+2)
Assim a expressão a estudar é
(x-1)(x+2)x(x+1) <= 0

Passo 5

Os pontos críticos são as raízes do numerador e as raízes do denominador:
x = -2,;-1,;0,;1
Em cada faixa testamos o sinal de cada fator:
  • Para x<-2: todos os fatores de primeiro grau mudam de sinal de acordo com x, o quociente fica positivo.
  • Para -2<x<-1: o numerador é negativo e o denominador positivo, quociente negativo.
  • Para -1<x<0: numerador negativo, denominador negativo, quociente positivo.
  • Para 0<x<1: numerador negativo, denominador positivo, quociente negativo.
  • Para x>1: numerador e denominador positivos, quociente positivo.
    Além disso, queremos <=0, ou seja, valem as faixas onde o quociente é negativo e também os zeros do numerador (onde a expressão vale zero), isto é x=-2 e x=1.

Passo 6

Juntando tudo, respeitando xneq -1,0, a solução é
[-2,-1);cup;(0,1]

Resposta

[-2,-1)cup(0,1]

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