Resolva as inequações.
raiz-x^2+5 x+14-2 <= x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação envolvendo uma raiz quadrada:
raiz-x^2+5x+14;-;2 ;<=; x
O conteúdo aqui é manipulação de inequações com radical, que envolve (1) determinar o domínio onde o radicando é não negativo e (2) tratar a inequação, lembrando de impor a condição que permite elevar ao quadrado sem mudar o sentido da desigualdade.

Passo 2

Encontrar o domínio da raiz:
-x^2+5x+14 ;>=;0
é equivalente a
x^2-5x-14 ;<=;0
As raízes de x^2-5x-14=0 são
x=5pmraiz25+562=5pm92,
isto é, x=-2 e x=7. Como o coeficiente de x^2 é positivo, temos
-2 ;<=; x ;<=; 7

Passo 3

Na inequação original
raiz-x^2+5x+14-2 ;<=; x
passamos o -2 para o outro lado:
raiz-x^2+5x+14 ;<=; x+2

Passo 4

Para elevar ao quadrado, precisamos que o lado direito seja não negativo:
x+2 ;>=;0 Longrightarrow x ;>=;-2
Essa condição já está compatível com o domínio -2<= x<=7. Então, em [-2,7] podemos elevar ao quadrado sem inverter o sinal da desigualdade:

Passo 5

Elevando ao quadrado em [-2,7]:
-,x^2+5x+14 ;<=;(x+2)^2=x^2+4x+4
Reunindo tudo num lado:
-,x^2+5x+14 -l(x^2+4x+4r);<=;0 Longrightarrow -2x^2+x+10;<=;0
multiplicando por -1 (muda o sentido):
2x^2-x-10;>=;0
As raízes de 2x^2-x-10=0 são
x=1pmraiz1+804=1pm94,
isto é, x=-2 e x=2,5. Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola fica >=0 para
x<=-2 ou x>=2,5

Passo 6

Agora intersectamos com o intervalo onde elevamos ao quadrado e com o domínio da raiz:
-2<= x<=7 e x>=2,5 Longrightarrow 2,5<= x<=7
Além disso, x=-2 satisfaz tanto o domínio quanto a equação ao quadrado (é ponto de fronteira em que a raiz é zero) e verifica diretamente a inequação original:
raiz0-2<=-2Longrightarrow-2<=-2 (verdadeiro)

Resposta

x=-2 ou 2,5<= x<=7.

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