Resolva as inequações.
x+63 x^2+2 >= 1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x+63x^2+2 >= 1
O conteúdo aqui é inequação racional. Vamos precisar determinar o domínio, analisar o sinal do denominador e então manipular a inequação multiplicando pelo denominador (quando ele for sempre positivo ou sempre negativo) sem inverter o sinal.

Passo 2

Determinamos o domínio analisando o denominador 3x^2+2. Como 3x^2>= 0 para todo x, temos
3x^2+2 >= 2 > 0
Portanto o denominador é sempre positivo e nunca se anula. O domínio é todo R.

Passo 3

Como o denominador é sempre positivo, podemos multiplicar ambos os lados da inequação por 3x^2+2 sem inverter o sinal:
x+63x^2+2 >= 1 Longrightarrow x+6 >= 3x^2+2
Reorganizando os termos:
0 >= 3x^2 - x - 4,
isto é,
3x^2 - x - 4 <= 0

Passo 4

Resolvemos a inequação quadrática 3x^2 - x - 4 <= 0. Primeiro encontramos as raízes da equação associada
3x^2 - x - 4 = 0
O discriminante é
De<a = (-1)^2 - 4cdot3cdot(-4) = 1 + 48 = 49,
e as raízes são
x = 1 pm 76,
isto é
x1 = 1-76 = -1, x2 = 1+76 = 43
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola abre para cima, logo 3x^2 - x - 4 <= 0 para x entre -1 e tfrac43.

Resposta

[-1,;43]

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