Resolva as inequações.
4-2 xx^2-4 <= 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
4 - 2xx^2 - 4 <= 3,
que é uma desigualdade racional. Note que o denominador não pode ser zero, logo devemos ter x neq pm 2.

Passo 2

Passamos tudo para o mesmo lado para formar uma única fração:
4 - 2xx^2 - 4 - 3 <= 0
Colocando sobre o mesmo denominador, obtemos
4 - 2x - 3(x^2 - 4)x^2 - 4 <= 0
No numerador aparece
4 - 2x - 3(x^2 - 4) = 4 - 2x - 3x^2 + 12 = -3x^2 - 2x + 16

Passo 3

Agora fatoramos numerador e denominador:
-3x^2 - 2x + 16 = -(3x^2 + 2x - 16) = -(x - 2)(3x + 8),
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
A expressão fica
-(x - 2)(3x + 8)(x - 2)(x + 2) <= 0,
e, para x neq 2, podemos simplificar x-2, dando
-3x + 8x + 2 <= 0

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por -1, lembrando de inverter o sinal da desigualdade:
3x + 8x + 2 >= 0

Passo 5

Determinamos os pontos críticos da função 3x+8x+2:
  • Zerador do numerador: 3x+8=0 em x=-tfrac83.
  • Ponto de descontinuidade (denominador zero): x=-2.
Fazemos o estudo de sinais em cada intervalo:
(-infty, -83): numerador <0, denominador <0Rightarrow quociente >0
x=-83: quociente =0
(-83, -2): numerador >0, denominador <0Rightarrow quociente <0
(-2, infty): numerador >0, denominador >0Rightarrow quociente >0
Queremos >=0, isto é, quociente positivo ou zero.

Passo 6

Reunindo as parcelas em que 3x+8x+2>=0 e respeitando xneqpm2, obtemos
xin(-infty,,-tfrac83] ;cup;(-2,infty),
e, dentro de ( -2,infty), excluímos x=2 (denominador zero na equação original).

Resposta

boxedxin(-infty,-tfrac83];cup;(-2,2);cup;(2,infty)

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