Resolva as inequações.
raiz2 x^2+1-2 x+1 >= 0

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação
raiz2x^2+1;-;2x;+;1 ;>=;0
Este é um caso de inequação com radical: isolamos a raiz para obter
raiz2x^2+1;>=;2x-1
e faremos análise de casos segundo o sinal de 2x-1, elevando ao quadrado quando ambos os lados forem não negativos.

Passo 2

Caso 2x-1<=0, isto é x<=tfrac12, o lado direito é não positivo enquanto
raiz2x^2+1 é sempre não negativo. Logo, para todo x<=tfrac12 vale
raiz2x^2+1;>=;0;>=;2x-1,
de modo que a inequação está satisfeita em
(-infty,tfrac12]

Passo 3

Caso 2x-1>0, isto é x>tfrac12, ambos os lados de
raiz2x^2+1>=2x-1 são não negativos e podemos elevar ambos ao quadrado:
2x^2+1 ;>=;(2x-1)^2 ;Longrightarrow; 2x^2+1 ;>=;4x^2-4x+1 ;Longrightarrow; 0 ;>=;2x^2-4x ;Longrightarrow; x(x-2)<=0
Essa última desigualdade é satisfeita para xin[0,2]. Intersectando com x>tfrac12 obtém-se
l(tfrac12,2r]

Passo 4

Unindo as soluções dos dois casos:
(-infty,tfrac12];cup;l(tfrac12,2r] ;=; (-infty,2]

Resposta

(-infty,2]

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