Resolva, em R, a equação:
2x+raiz2-x^2+2x-raiz2-x^2=x

Solução

Multiplicando os termos da primeira fração por x-raiz2-x^2 e os da segunda por x+raiz2-x^2, temos:
2(x-raiz2-x^2)2 x^2-2+2(x+raiz2-x^2)2 x^2-2=x Rightarrow
Rightarrow x-raiz2-x^2x^2-1+x+raiz2-x^2x^2-1=x Rightarrow 2 x=x(x^2-1) Rightarrow
Rightarrow x^3-3 x=0 Rightarrow x(x^2-3)=0 Rightarrow x=0 ou x=raiz3 ou x=-raiz3
x=raiz3 ou x=-raiz3 não são soluções, pois devemos ter 2-x^2 >= 0 para que seja real a expressão raiz2-x^2. Somente x=0 é solução e isso pode ser verificado facilmente, substituindo x por zero na equação proposta.
S=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em R, a equação
2x+raiz2-x^2+2x-raiz2-x^2=x
O conteúdo envolvido é a solução de equação com radical, que exige (i) determinar o domínio de definição, (ii) somar as frações por denominador comum e (iii) resolver o polinômio resultante, verificando raízes extraneous.

Passo 2

Precisamos que a expressão dentro da raiz seja não negativa e que os denominadores não se anulem. Logo,
2 - x^2 >= 0 Longrightarrow -raiz2<= x<= raiz2,
e também
x pm raiz2 - x^2neq 0

Passo 3

Vamos somar as frações obtendo denominador comum
(x+raiz2-x^2)(x-raiz2-x^2)=x^2-l(2-x^2r)=2l(x^2-1r)
Assim,
2x+raiz2-x^2+2x-raiz2-x^2 =2l(x-raiz2-x^2r)+2l(x+raiz2-x^2r) 2l(x^2-1r) =4x2,(x^2-1) =2xx^2-1
A equação fica
2xx^2-1=x

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x^2-1 (lembrando que não é zero no domínio),
2x = xl(x^2-1r) Longrightarrow x,(x^2-3)=0 Longrightarrow x=0,;x=pmraiz3

Passo 5

Verificamos no domínio -raiz2<= x<=raiz2:
pmraiz3 estão fora, pois raiz3>raiz2. Resta x=0, que satisfaz 2-x^2>=0 e não anula os denominadores.

Resposta

0

Exercícios de Livros Relacionados