5.13 Resolva:
raiz2 x=raizx+1+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação envolvendo radicais
raiz2x = raizx+1 + 1,
que é um problema de equações com raízes quadradas. Para lidar com esse tipo de equação, precisamos primeiro determinar o domínio (para que as expressões dentro das raízes façam sentido) e depois usar técnicas de isolamento e elevação ao quadrado, tomando cuidado com soluções extraviadas.

Passo 2

Analisando o domínio, as duas raízes exigem
2x >= 0Longrightarrow x >= 0,
e
x + 1 >= 0Longrightarrow x >= -1
A interseção é x >= 0. A partir de agora só consideramos candidatos x >= 0.

Passo 3

Elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz maior:
l(raiz2xr)^2 = l(raizx+1 + 1r)^2
2x = (x+1) + 2raizx+1 + 1 = x + 2 + 2raizx+1

Passo 4

Reorganizando, isolamos o radical restante:
2x - x - 2 = 2raizx+1 Longrightarrow x - 2 = 2raizx+1
Como o lado direito 2raizx+1 é não negativo, exigimos também
x - 2 >= 0 Longrightarrow x >= 2

Passo 5

Elevamos de novo ao quadrado para eliminar a raiz:
(x - 2)^2 = 4(x+1) Longrightarrow x^2 - 4x + 4 = 4x + 4 Longrightarrow x^2 - 8x = 0 Longrightarrow x(x - 8) = 0
Dessa equação saem as raízes x = 0 e x = 8.

Passo 6

Voltando aos critérios de domínio x >= 2, descartamos x=0 e mantemos x=8. Verificamos no original:
raiz2cdot 8 = raiz16 = 4, raiz8+1 + 1 = raiz9 + 1 = 3 + 1 = 4,
confere perfeitamente.

Resposta

A única solução da equação é 8.

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