Resolva as relações de recorrência abaixo com as condições iniciais dadas.
Determine a solução para recorrência:
a_{n}=6 a_{n-1}-8 a_{n-2} para n \geq 2, a_{0}=4, a_{1}=10

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência linear de segunda ordem
a_{n} = 6\,a_{n-1} - 8\,a_{n-2},\quad n\ge2,
com condições iniciais a_{0}=4 e a_{1}=10. O conteúdo aqui é resolver uma recorrência homogênea de coeficientes constantes usando a equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo a_{n}=r^{n} e montamos a equação característica:
r^{2}-6r+8=0.

Passo 3

Resolvendo
r^{2}-6r+8=0
temos
r = \frac{6\pm\sqrt{36-32}}{2} = \frac{6\pm2}{2},
logo as raízes são r_{1}=4 e r_{2}=2.

Passo 4

Como as raízes são distintas, a solução geral é
a_{n}=A\cdot4^{n}+B\cdot2^{n},
onde A e B são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Usando n=0\) e \(n=1\): \[\begin{cases} a_{0}=A\cdot4^{0}+B\cdot2^{0}=A+B=4,\\\ a_{1}=A\cdot4^{1}+B\cdot2^{1}=4A+2B=10. \end{cases}
Resolvendo esse sistema:
A+B=4,\quad4A+2B=10
\Longrightarrow 2A+2B=8\quad\text{(multiplicando a primeira por 2)}
\Longrightarrow (4A+2B)-(2A+2B)=10-8
\Longrightarrow 2A=2\quad\Longrightarrow A=1,
e então (B=4-A=3].

Passo 6

Substituindo A=1 e B=3 na solução geral, obtemos
a_{n}=1\cdot4^{n}+3\cdot2^{n}.

Resposta

a_{n}=4^{n}+3\cdot2^{n}.

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