Resolva as relações de recorrência abaixo com as condições iniciais dadas.
Determine a solução para recorrência:
a_{n}=2 a_{n-1}-a_{n-2} para n \geq 2, a_{0}=4, a_{1}=1

Passo 1

O enunciado dá a recorrência linear homogênea de segunda ordem
a_{n}=2\,a_{n-1}-a_{n-2},\quad n\ge2,
com condições iniciais a_{0}=4 e a_{1}=1.
O conteúdo aqui é resolver recorrência por meio da equação característica e depois ajustar as constantes pelas condições iniciais.

Passo 2

Formamos a equação característica associada à recorrência:
r^{2}-2r+1=0.

Passo 3

Resolvendo a equação característica, notamos que o discriminante é
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot1\cdot1=4-4=0,
logo há raiz dupla r=1.

Passo 4

Para raiz dupla r=1, a solução geral da recorrência é da forma
a_{n} = (C + D\,n)\,1^{n} = C + D\,n,
onde C e D são constantes a determinar.

Passo 5

Usamos as condições iniciais para achar C e D:
para n=0,
a_{0}=C+ D\cdot0 = C =4;
para n=1,
a_{1}=C+ D\cdot1=4+D=1\quad\Longrightarrow\quad D=-3.

Resposta

a_{n}=4-3n.

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