Resolva as relações de recorrência abaixo com as condições iniciais dadas.
a_{n}=4 a_{n-2} para n \geq 2, a_{0}=0, a_{1}=4

Passo 1

O enunciado nos dá a recorrência linear homogênea de segunda ordem com “pulo” de dois índices:
a_{n} = 4\,a_{n-2},\quad n\ge2,
e as condições iniciais
a_{0}=0,\quad a_{1}=4.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos solução da forma a_{n}=r^{n} e substituímos na recorrência:
r^{n}=4\,r^{n-2} \quad\Longrightarrow\quad r^{2}-4=0.
As raízes são
r_{1}=2, \quad r_{2}=-2,
logo a solução geral é
a_{n}=A\cdot2^{n}+B\cdot(-2)^{n}.

Passo 3

Usamos as condições iniciais para determinar A e B:
Para n=0:
a_{0}=A+B=0 \quad\Longrightarrow\quad B=-A.
Para n=1:
a_{1}=2A-2B=4 \quad\Longrightarrow\quad 2A-2(-A)=4 \quad\Longrightarrow\quad 4A=4 \quad\Longrightarrow\quad A=1,\;B=-1.

Passo 4

Substituindo A=1 e B=-1 na solução geral, obtemos
a_{n}=2^{n}-(-2)^{n}.

Resposta

a_{n}=2^{n}-(-2)^{n}.

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