Resolva as relações de recorrência abaixo com as condições iniciais dadas.
a_{n}=4 a_{n-1}-4 a_{n-2} para n \geq 2, a_{0}=6, a_{1}=8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a recorrência homogênea de segunda ordem
a_{n} \;=\;4\,a_{n-1}\;-\;4\,a_{n-2},\quad n\ge2,
com condições iniciais a_{0}=6 e a_{1}=8.
O conteúdo necessário é o método dos polinômios característicos para recorrências lineares com coeficientes constantes.

Passo 2

Associamos a recorrência ao polinômio característico
r^{2}-4r+4=0.
Resolvendo, notamos que
r^{2}-4r+4=(r-2)^{2}=0,
logo há raiz dupla r=2 de multiplicidade 2.

Passo 3

Como a raiz r=2 é dupla, a forma geral da solução é
a_{n}=(C_{1}+C_{2}\,n)\,2^{n},
onde C_{1} e C_{2}$ são constantes a determinar pelas condições iniciais.ãçõ

Passo 4

Usando n=0:
a_{0}=(C_{1}+C_{2}\cdot0)\,2^{0}=C_{1}=6\quad\Longrightarrow\;C_{1}=6.
Usando n=1:
a_{1}=(C_{1}+C_{2}\cdot1)\,2^{1}=(6+C_{2})\cdot2=8 \quad\Longrightarrow\;12+2C_{2}=8 \quad\Longrightarrow\;2C_{2}=-4 \quad\Longrightarrow\;C_{2}=-2.

Resposta

\boxed{a_{n}=(6-2n)\,2^{n}.}

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