Um determinante com todos os elementos de ordem unitária pode ser surpreendentemente pequeno. O determinante de Hilbert H_{i j}=(i+j-1)^{-1}, i, j=1,2, ldots, n é notório por seus valores pequenos.
(b) Se houver uma sub-rotina disponível, ache os determinantes de Hilbert de ordem n para n=4, 5 e 6.
Resposta: n \operatorname{Det}\left(H_{n}\right)
1 1.
2 8,33333 \times 10^{-2}
3 4,62963 \times 10^{-4}
4 1,65344 \times 10^{-7}
5 3,74930 \times 10^{-12}
6 5,36730 \times 10^{-18}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz de Hilbert de ordem n, definida por
H_{ij} = \frac{1}{i + j - 1},\quad i,j=1,2,\dots,n,
para n=4, 5 e 6. Vamos usar uma sub-rotina padrão de cálculo de determinante, lembrando que a matriz de Hilbert é notoriamente mal condicionada e produz valores de determinante muito pequenos.

Passo 2

Definimos explicitamente cada H_n:
Para n=4,
H_4 = \begin{pmatrix} 1 & \tfrac12 & \tfrac13 & \tfrac14\\\ \tfrac12 & \tfrac13 & \tfrac14 & \tfrac15\\\ \tfrac13 & \tfrac14 & \tfrac15 & \tfrac16\\\ \tfrac14 & \tfrac15 & \tfrac16 & \tfrac17 \end{pmatrix}.
Analogamente montamos H_5 e H_6. Em seguida, chamamos a sub-rotina de determinante para cada uma.

Passo 3

Aplicando a sub-rotina de determinante a cada matriz de Hilbert de ordem n, obtemos:
Para n=4, \det(H_4)\approx1,65344\times10^{-7}.
Para n=5, \det(H_5)\approx3,74930\times10^{-12}.
Para n=6, \det(H_6)\approx5,36730\times10^{-18}.

Resposta

Para n=4: \det(H_4)=1,65344\times10^{-7}
Para n=5: \det(H_5)=3,74930\times10^{-12}
Para n=6: \det(H_6)=5,36730\times10^{-18}

Exercícios de Livros Relacionados