Resolva as seguintes equações exponenciais:
5 cdot 2^2 x-4^2 x-12-8=0

Passo 1

Neste exercício temos a equação exponencial
5cdot2^2x-4^2x-tfrac12-8=0
O conteúdo é manipulação de potências e resolução de equação quadrática via substituição. Vamos reescrever tudo em base 2 e usar uma substituição inteligente.

Passo 2

Observamos que
4^2x-tfrac12 = (2^2)^2x-tfrac12 = 2^4x-1
Assim a equação vira
5cdot2^2x - 2^4x-1 - 8 = 0

Passo 3

Definindo t = 2^2x (que é sempre positivo), notamos que 2^4x = (2^2x)^2 = t^2 e então
2^4x-1 = t^22
A equação transforma-se em
5t - t^22 - 8 = 0

Passo 4

Multiplicamos todos os termos por 2 para limpar o denominador e obtemos
-,t^2 + 10t - 16 = 0
ou equivalentemente
t^2 - 10t + 16 = 0
Resolvendo essa quadrática, usamos De<a = 10^2 - 4cdot1cdot16 = 36, logo
t = 10 pm 62 ;implies; t = 8 ou t = 2

Passo 5

Voltando à substituição t = 2^2x, temos dois casos:
Para t = 8, escrevemos 2^2x = 8 = 2^3, de onde 2x = 3 e x = tfrac32.
Para t = 2, escrevemos 2^2x = 2 = 2^1, de onde 2x = 1 e x = tfrac12.

Resposta

As soluções são x = tfrac12 e x = tfrac32.

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