Ex. 1.11 - Resolva as seguintes equações:
|5 x-x^2-6|=x^2-5 x+6

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação com valor absoluto
|5x - x^2 - 6| = x^2 - 5x + 6
O conteúdo é a definição de valor absoluto e a técnica de resolver em dois casos, garantindo que o lado direito seja não negativo.

Passo 2

Definimos
g(x) = 5x - x^2 - 6, h(x) = x^2 - 5x + 6,
de modo que a equação fica
l|g(x)r| = h(x)
Para isso fazer sentido, precisamos ter
h(x) >= 0

Passo 3

Resolvemos a condição
h(x) = x^2 - 5x + 6 >= 0
Fatorando,
x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3),
então
(x-2)(x-3) >= 0 Longrightarrow x <= 2 ;ou; x >= 3

Passo 4

Agora aplicamos a definição de valor absoluto em dois casos, sempre com h(x)>=0.
Caso 1:
g(x) = h(x) ;Longrightarrow; 5x - x^2 - 6 = x^2 - 5x + 6 ;Longrightarrow; -2x^2 +10x -12 = 0 ;Longrightarrow; x^2 -5x +6 = 0 ;Longrightarrow; x = 2 ou x = 3
Ambos satisfazem h(x)=0>=0.
Caso 2:
g(x) = -,h(x) ;Longrightarrow; 5x - x^2 - 6 = -(x^2 - 5x + 6),
que é uma identidade ( 0=0). Logo, qualquer x que satisfaça h(x)>=0 é solução.

Passo 5

As soluções de caso 2 já são todas as x com x<=2 ou x>=3. O caso 1 apenas redescobre os pontos 2 e 3. Portanto a solução final é
x in (-infty,2] cup [3,infty)

Resposta

,(-infty,2] cup [3,infty)

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