Ex. 1.11 - Resolva as seguintes equações:
raizx+raizx+11+raizx-raizx+11=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
raizx+raizx+11 ;+;raizx-raizx+11 ;=;4
O conteúdo aqui é resolução de equações com radicais: primeiro impomos o domínio dos radicandos, depois isolamos termos e elevamos ao quadrado, sempre conferindo possíveis soluções espúrias.

Passo 2

Impondo que todos os radicandos sejam não negativos, temos
x + 11 >= 0, x+raizx+11>=0, x-raizx+11>=0
A primeira dá x>=-11. A segunda, como raizx+11>=0, não traz restrição extra além de x>=-11. A terceira exige
x>=raizx+11
Elevando ambos os lados ao quadrado (válido pois são não negativos),
x^2 >= x+11 Long<=ftrightarrow x^2 - x - 11 >= 0
As raízes de x^2 - x - 11=0 são x=tfrac1pm3raiz52, e para x^2 - x - 11>=0 obtemos
x <= 1-3raiz52 ou x >= 1+3raiz52
Como também deve valer x>=-11 e além disso raizx+11 só faz sentido para x>=-11, a única parte relevante do domínio é
x >= 1+3raiz52

Passo 3

Agora elevamos ao quadrado a equação original. De
raizx+raizx+11 + raizx-raizx+11 = 4
vem
l(raizx+raizx+11 + raizx-raizx+11r)^2 = 16,
isto é
x+raizx+11 ;+; x-raizx+11 ;+;2raiz(x+raizx+11)(x-raizx+11) =16
Simplificando os termos internos e chamando o produto de radicandos de x^2-(x+11), obtemos
2x + 2raizx^2 - x - 11 =16 Longrightarrow x + raizx^2 - x - 11 =8

Passo 4

Isolando o radical,
raizx^2 - x - 11 = 8 - x
Para que o lado direito seja não negativo, precisamos de 8-x>=0, ou seja x<=8. Elevando de novo ao quadrado,
x^2 - x - 11 = (8 - x)^2 = x^2 -16x +64
Cancelando x^2 e reorganizando,
- x - 11 = -16x +64 Longrightarrow 15x = 75 Longrightarrow x = 5

Passo 5

Verificamos que x=5 respeita o domínio ,5>=tfrac1+3raiz52approx3,85 e também 5<=8. Substituindo na equação original:
raiz5+raiz5+11 + raiz5-raiz5+11 = raiz5+4 + raiz5-4 = 3 + 1 =4
Logo x=5 é solução válida e não gera caso espúrio.

Resposta

x = 5

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