Seja p um número primo, p neq pm 2 e p neq pm 3. Prove que existe k in Z de modo que p^2=24 k+1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se p é um primo ímpar diferente de 3, então existe kinZ tal que
p^2 = 24,k + 1
O conteúdo envolve congruências módulo 8 e módulo 3 e, em seguida, uso do Teorema Chinês dos Restos para concluir o caso módulo 24.

Passo 2

Como p é primo ímpar, podemos escrevê-lo na forma
p = 2m + 1, minZ
Então
p^2 = (2m+1)^2 = 4,m(m+1) + 1
Note que m(m+1) é par, logo existe ninZ tal que m(m+1)=2n. Substituindo,
p^2 = 4cdot 2n + 1 = 8n + 1,
portanto
p^2 equiv 1 pmod8

Passo 3

Como pneq pm 3, temos gcd(p,3)=1, ou seja,
p equiv 1 pmod3 ou p equiv -1 pmod3
Em ambos os casos
p^2 equiv 1 pmod3

Passo 4

Os módulos 8 e 3 são coprimos. Pelo Teorema Chinês dos Restos, das congruências
p^2 equiv 1 pmod8 e p^2 equiv 1 pmod3
segue-se
p^2 equiv 1 pmod24
Isto é, existe kinZ tal que
p^2 = 24,k + 1

Resposta

Portanto, para todo primo pneq pm2,pm3 existe kinZ com
p^2 = 24,k + 1

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