Use o teorema de Wilson para mostrar que, se p>2 é primo, então:
1^2 cdot 3^2 cdot 5^2 ldots(p-2)^2 equiv(-1)^p+12(bmod p)
Sugestäo: Leve em conta que 2 equiv-(p-2)(bmod p), p-3 equiv-3 (bmod p), 4 equiv-(p-4)(bmod p), p-5 equiv-5(bmod p), ldots.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
1^2cdot3^2cdot5^2cdots(p-2)^2pmod p
quando p>2 é primo, usando o Teorema de Wilson, que afirma
(p-1)!equiv-1pmod p
Vamos precisar também do pequeno teorema de Fermat para 2^p-1equiv1pmod p.

Passo 2

Aplicamos Wilson agrupando os fatores em (p-1)!=1cdot2cdotcdotscdot(p-1) em pares
k,(p-k)equiv -k^2pmod p,
para k=1,2,dots,p-12. Assim
(p-1)!=prodk=1^p-12k,(p-k)equivprodk=1^p-12l(-k^2r) =(-1)^p-12l(l(tfracp-12!r)^2r)pmod p

Passo 3

Como (p-1)!equiv-1, segue
-1equiv(-1)^p-12l((tfracp-12!)^2r) pmod p ;Longrightarrow; (tfracp-12!)^2equiv(-1)^1+p-12=(-1)^p+12pmod p

Passo 4

Agora expressamos o produto dos ímpares
P=;1cdot3cdot5cdots(p-2)
em termos de (p-1)!. Note que os pares em (p-1)! são
2cdot4cdot6cdots(p-1)=2^p-12l(tfracp-12!r),
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P=(p-1)!2^p-12l(tfracp-12!r)
Elevando ao quadrado,
P^2 =(p-1)!^22^,p-1,l(tfracp-12!r)^2 pmod p
Usando (p-1)!equiv-1 e 2^p-1equiv1, e substituindo (tfracp-12!)^2equiv(-1)^p+12, obtém-se
P^2equiv(-1)^2(-1)^p+12 =1(-1)^p+12 =(-1)^p+12 pmod p,
pois (-1)^p+12=pm1 é igual ao seu inverso.

Resposta

1^2cdot3^2cdot5^2cdots(p-2)^2equiv(-1)^p+12pmod p

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