Seja a>1 um inteiro. Se p>2 é primo, prove que os divisores primos impares de a^p+1 ou dividem a +1 ou são da forma 2 px+1.
Resolução: Se q é um primo ímpar, divisor de a^p+1, então a^p+1 equiv 0(bmod q) e daí a^2 p equiv 1(bmod q). Logo, as possíveis ordens de a, módulo q, são d=1,2, p ou 2 p.
Vamos supor d=1. Então a equiv 1(bmod q) e daí a^p equiv 1(bmod q) ; mas como a^p equiv-1(bmod q), então 1 equiv-1(bmod q), o que não é possível pois q é ímpar. Se d=p, então igualmente teríamos a^p equiv 1(bmod q), o que contradiz a^p equiv-1(bmod q). No caso d=2 se tem a^2 equiv 1(bmod q); daí q mid(a-1)(a+1), o que implica q mid(a-1) ou q mid(a+1), ou seja, a equiv 1(bmod q) ou a equiv-1(bmod q).
Como a primeira possibilidade corresponde a d=1 deve ser descartada, restando a equiv-1(bmod q), o que equivale a q mid(a+1).
Finalmente, se d=2 p, como varphi(q)=q-1 é múltiplo de 2 p , entāo q=1+2 px.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro a>1 e um primo ímpar p>2, todo divisor primo ímpar q de a^p+1 satisfaz ou qmid(a+1) ou q=2,p,x+1 para algum inteiro x. O conteúdo principal é teoria de grupos multiplicativos módulo q, em especial a noção de ordem de um elemento e o fato de que essa ordem divide varphi(q)=q-1.

Passo 2

Seja q um primo ímpar que divide a^p+1. Então
a^pequiv -1pmodq
e daí
a^2pequiv 1pmodq
Como gcd(a,q)=1, definimos a ordem de a em (Z/qZ)^times como o menor d>0 tal que
a^dequiv1pmodq
Pelos resultados de teoria de grupos, d divide 2p e também divide q-1. Logo
din1,2,p,2p

Passo 3

Caso d=1: teríamos aequiv1pmodq. Então a^pequiv1pmodq, o que contradiz a^pequiv-1pmodq. Logo dneq1.

Passo 4

Caso d=p: isso daria a^pequiv1pmodq, outra vez contradizendo a^pequiv-1pmodq. Assim dneq p.

Passo 5

Caso d=2: temos
a^2equiv1pmodq Longrightarrow qmid(a-1)(a+1)
Como dneq1, não pode ser aequiv1pmodq, restando
aequiv-1pmodq,
ou seja, qmid(a+1).

Passo 6

Caso d=2p: então 2pmid d e como dmid(q-1) segue
q-1=2p,x Longrightarrow q=2p,x+1

Resposta

Os divisores primos ímpares q de a^p+1 satisfazem exatamente uma das duas condições:
qmid(a+1) ou q=2p,x+1

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