Seja
um inteiro. Se
é primo, prove que os divisores primos impares de
ou dividem a +1 ou são da forma
.
Resolução: Se q é um primo ímpar, divisor de
, então
e daí
. Logo, as possíveis ordens de
, módulo
, são
ou
.
Vamos supor
. Então
e daí
mas como
, então
, o que não é possível pois
é ímpar. Se
, então igualmente teríamos
, o que contradiz
. No caso
se tem
; daí
, o que implica
ou
, ou seja,
ou
.
Como a primeira possibilidade corresponde a
deve ser descartada, restando
, o que equivale a
.
Finalmente, se
, como
é múltiplo de 2 p , entāo
.
Resolução: Se q é um primo ímpar, divisor de
Como a primeira possibilidade corresponde a
Finalmente, se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um inteiro
e um primo ímpar
, todo divisor primo ímpar
de
satisfaz ou
ou
para algum inteiro
. O conteúdo principal é teoria de grupos multiplicativos módulo
, em especial a noção de ordem de um elemento e o fato de que essa ordem divide
.
Passo 2
Seja
um primo ímpar que divide
. Então
e daí
Como
, definimos a ordem de
em
como o menor
tal que
Pelos resultados de teoria de grupos,
divide
e também divide
. Logo
Passo 3
Caso
: teríamos
. Então
, o que contradiz
. Logo
.
Passo 4
Caso
: isso daria
, outra vez contradizendo
. Assim
.
Passo 5
Caso
: temos
Como
, não pode ser
, restando
ou seja,
.
Passo 6
Caso
: então
e como
segue
Resposta
Os divisores primos ímpares
de
satisfazem exatamente uma das duas condições: