Resolva o sistema:
\left{
lCn, p=78 An, p=156
\right.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar n e p naturais tais que
binomnp=78
e
A(n,p)=156
O conteúdo envolve combinação e permutação simples, então vamos usar as fórmulas conhecidas.

Passo 2

A fórmula da combinação é
binomnp = n!p!,(n-p)!,
e da permutação (ou disposição) é
A(n,p) = n!(n-p)!

Passo 3

Para binomnp=78, testamos valores pequenos de p. Primeiro, se p=1 então
binomn1=n=78
logo n=78.

Passo 4

Com n=78 e p=1 teríamos
A(78,1)=78,
mas precisamos de 156. Esse caso não serve, então descartamos p=1.

Passo 5

Agora, para p=2 a equação
binomn2 = n(n-1)2 = 78
implica
n(n-1)=156
e, portanto,
n^2 - n - 156 = 0
A solução positiva dessa equação quadrática é n=13.

Passo 6

Com n=13 e p=2 verificamos a permutação:
A(13,2)=13!(13-2)!=13times12=156,
que coincide exatamente com o valor exigido.

Resposta

(n,p)=(13,2)

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