Prove que:
1n!-1(n+1)!=n(n+1)!

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
1n!-1(n+1)!=n(n+1)!
O que vamos usar é a definição de fatorial e a soma de frações com denominadores parecidos.

Passo 2

Lembrando que, pela definição de fatorial,
(n+1)!=(n+1)cdot n!

Passo 3

Com isso podemos reescrever
1(n+1)!=1(n+1),n!

Passo 4

Agora fazemos a diferença
1n!-1(n+1),n!
e vemos que o denominador comum é n!. Logo podemos colocar em evidência:

Passo 5

1n!-1(n+1),n! =1n!l(1-1n+1r)
Dentro do parênteses temos
1-1n+1=n+1-1n+1=nn+1

Passo 6

Substituindo de volta, obtemos
1n!cdotnn+1 =n(n+1),n! =n(n+1)!,
que é exatamente o que queríamos.

Resposta

1n!-1(n+1)!=n(n+1)!

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