Resolva o sistema:
c 2^x cdot 2^y cdot 2^z=8 3^x cdot 3^z=3^9 cdot 9^y 125^y cdot 5^x=5^z

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de equações exponenciais em x,y,z. O conteúdo é usar propriedades de potências para reescrever cada equação como uma equação linear nos expoentes, e em seguida resolver esse sistema linear.

Passo 2

Usando 2^acdot2^b=2^a+b e notando que 8=2^3, reescrevemos a primeira equação como
2^xcdot2^ycdot2^z=2^x+y+z=8=2^3
Logo,
x+y+z=3

Passo 3

Na segunda equação usamos 3^acdot3^b=3^a+b e 9^y=(3^2)^y=3^2y, obtendo
3^xcdot3^z=3^x+z, 9^y=3^2y, 3^9cdot9^y=3^9+2y
Assim,
3^x+z=3^9+2y Longrightarrow x+z=9+2y

Passo 4

Na terceira equação, como 125^y=(5^3)^y=5^3y, temos
125^ycdot5^x=5^3ycdot5^x=5^3y+x Longrightarrow 5^3y+x=5^z Longrightarrow 3y+x=z
Que fica
x+3y-z=0

Passo 5

O sistema linear resultante é
x+y+z=3, x-2y+z=9, x+3y-z=0
Para eliminar variáveis, subtraímos a segunda linha da primeira:
(x+y+z)-(x-2y+z)=3-9 Longrightarrow 3y=-6 Longrightarrow y=-2

Passo 6

Substituindo y=-2 em x+3y-z=0
x+3(-2)-z=0 Longrightarrow x-6-z=0 Longrightarrow x-z=6 Longrightarrow x=6+z

Passo 7

Por fim, substituímos y=-2 e x=6+z em x+y+z=3:
(6+z)+(-2)+z=3 Longrightarrow 4+2z=3 Longrightarrow 2z=-1 Longrightarrow z=-tfrac12
Então
x=6+(-tfrac12)=tfrac112

Resposta

(x,y,z)=l(tfrac112,,-2,,-tfrac12r)

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