Utilizando o teorema de Rouché-Capelli, classifique os seguintes sistemas:
x+4 y-3 z+t & =1 2 x+3 y+2 z-t & =2

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
x + 4y - 3z + t = 1, 2x + 3y + 2z - t = 2,
com quatro incógnitas (x,y,z,t) e duas equações.
O conteúdo principal é a classificação via o teorema de Rouché-Capelli, que exige calcular o posto (rank) da matriz de coeficientes A e da matriz aumentada [Amid b].

Passo 2

Escrevemos as matrizes:
A = 1 & 4 & -3 & 1 2 & 3 & 2 & -1 , [Amid b] = 1 & 4 & -3 & 1 & 1 2 & 3 & 2 & -1 & 2

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss para achar o posto de A e de [Amid b].
Usamos o pivô 1 em A11 e substituímos
R2 R2 - 2,R1
No coeficiente isso gera
1 & 4 & -3 & 1 0 & -5 & 8 & -3 ,
duas linhas não-nulas implies rank(A)=2.
Na matriz aumentada, o mesmo passo dá
1 & 4 & -3 & 1 & 1 0 & -5 & 8 & -3 & 0 ,
duas linhas não-nulas implies rank([Amid b])=2.

Passo 4

Pelo teorema de Rouché-Capelli, com
rank(A)=rank([Amid b])=2
e número de incógnitas 4, concluímos que o sistema é possível e tem infinitas soluções.

Resposta

O sistema é possível e indeterminado.

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