Determine os valores de m para os quais o sistema
r x-y+z=0 2 x-3 y+2 z=0 4 x+3 y+m z=0
admita somente a solução x=0, y=0, z=0.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema homogêneo de três equações lineares em três incógnitas x,y,z:
x - y + z = 0, 2x - 3y + 2z = 0, 4x + 3y + m z = 0
Conteúdo: álgebra linear, determinante de matriz e condição para solução trivial única (sistema homogêneo).

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes A associada ao sistema:
A = 1 & -1 & 1 2 & -3 & 2 4 & 3 & m
Um sistema homogêneo Avec v = vec 0 tem só a solução trivial vec v=vec0 se, e somente se, det(A)neq0.

Passo 3

Calculamos det(A) pela expansão de Laplace (ou regra de Sarrus):
det(A)= 1cdot-3 & 23 & m -(-1)cdot2 & 24 & m +1cdot2 & -34 & 3
=1l(-3m-6r)+(2m-8)+(2cdot3-(-3)cdot4) =-3m-6+2m-8+18=-m+4

Passo 4

A condição para existir apenas a solução trivial é
det(A)neq0 Longrightarrow -m+4neq0 Longrightarrow mneq4

Resposta

O sistema admite somente a solução x=0,y=0,z=0 exatamente para todos os valores de m tais que
mneq4.

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