Quais os valores de a de modo que o sistema
l (sen alpha-1) x+2 y-(sen alpha) z=0 (3 sen alpha) y+4 z=0 3 x+(7 sen alpha) y+6 z=0
admita soluções não triviais?

Passo 1

O enunciado dá um sistema homogêneo em com parâmetro :
Para que exista solução não trivial, o determinante da matriz de coeficientes deve ser zero.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A = sinalpha - 1 & 2 & -sinalpha 0 & 3sinalpha & 4 3 & 7sinalpha & 6
Vamos calcular det A por expansão:
det A = (sinalpha-1),3sinalpha & 47sinalpha & 6 -2,0 & 43 & 6 +(-sinalpha),0 & 3sinalpha3 & 7sinalpha
Agora, cada menor:
3sinalpha & 47sinalpha & 6 =18sinalpha -28sinalpha=-10sinalpha,
0 & 43 & 6 =0cdot6 -4cdot3=-12,
0 & 3sinalpha3 & 7sinalpha =0cdot7sinalpha -3sinalphacdot3=-9sinalpha
Substituindo:
det A =(sinalpha-1)(-10sinalpha) -2(-12) +(-sinalpha)(-9sinalpha) =-10sin^2alpha+10sinalpha+24+9sin^2alpha =-sin^2alpha+10sinalpha+24

Passo 3

Impondo det A=0:
-sin^2alpha+10sinalpha+24=0 Long<=ftrightarrow sin^2alpha-10sinalpha-24=0
Resolvendo em s=sinalpha:
s=10pmraiz100+962=10pm142 ;Longrightarrow; s=12ou s=-2
Como sinalpha está sempre em [-1,1], nenhuma dessas soluções é possível.

Resposta

Não existe valor real de alpha que torne o determinante nulo; logo, não há alpha para soluções não triviais.

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