Resolva, em R, as equações:
raiz[3]8+15 x-5 x^2-3 x^3=x+2

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a equação
raiz[3]8 + 15x - 5x^2 - 3x^3 = x + 2
O conteúdo envolve propriedades da função raiz cúbica real, que é bijetora e estritamente crescente, permitindo elevar ambos os lados ao cubo sem gerar soluções espúrias.

Passo 2

Elevando ambos os lados ao cubo, obtemos
8 + 15x - 5x^2 - 3x^3 = (x + 2)^3
pela monotonicidade da raiz cúbica real.

Passo 3

Expanda o cubo no lado direito e reúna todos os termos em um único polinômio igual a zero. Primeiro,
8 + 15x - 5x^2 - 3x^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8
Depois, subtraia todos os termos do segundo membro:
-3x^3 - 5x^2 + 15x + 8 - x^3 - 6x^2 - 12x - 8 = 0
e simplifique para
-4x^3 - 11x^2 + 3x = 0
.

Passo 4

Fatorte o polinômio resultante:
-4x^3 - 11x^2 + 3x = -x,(4x^2 + 11x - 3)
Assim, uma raiz é x=0. Para a equação quadrática 4x^2 + 11x - 3 = 0, o discriminante é
De<a = 11^2 - 4cdot4cdot(-3) = 121 + 48 = 169,
portanto
x = -11 pm 138,
isto é, x = tfrac14 ou x = -3.

Passo 5

Verificamos nos três valores x=0,;tfrac14,;-3 que a igualdade original
raiz[3]8 + 15x - 5x^2 - 3x^3 = x + 2
é satisfeita, confirmando que não há soluções extranhas.

Resposta

As soluções em R são
x = 0, x = -3, x = tfrac14

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