Resolva os sistemas:
x-5x+3+x-8x-3 >= 12

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x-5x+3+x-8x-3>= tfrac12
Aqui vamos trabalhar com soma de frações, encontrar o domínio da expressão (pontos de descontinuidade) e, em seguida, transformar tudo em uma única fração para analisar seu sinal.

Passo 2

Determinar o domínio. As frações são indefinidas quando os denominadores se anulam, ou seja,
x+3=0;Rightarrow;x=-3, x-3=0;Rightarrow;x=3
Logo o domínio é Rsetminus-3,3.

Passo 3

Colocar tudo sobre o mesmo denominador e subtrair tfrac12 para obter uma única fração. O denominador comum das duas frações iniciais é (x+3)(x-3)=x^2-9. Assim,
x-5x+3+x-8x-3 =(x-5)(x-3)+(x-8)(x+3)x^2-9 =2x^2-13x-9x^2-9
Passando o tfrac12 para o lado esquerdo:
2x^2-13x-9x^2-9-12>=0 Longrightarrow 2,(2x^2-13x-9)-(x^2-9)2(x^2-9)>=0
O numerador vira
4x^2-26x-18 - x^2+9 = 3x^2-26x-9,
portanto a inequação é
3x^2-26x-92(x^2-9)>=0

Passo 4

Encontrar os zeros do numerador e do denominador:
– Numerador 3x^2-26x-9=0 to
x=26pmraiz26^2+4cdot3cdot92cdot3 =26pmraiz7846 =26pm286,
isto é, x=-13 e x=9.
– Denominador 2(x^2-9)=0 to x=pm3.
Os pontos críticos são então
-3, -tfrac13, 3, 9,
sendo que x=-3 e x=3 não pertencem ao domínio.

Passo 5

Analisar o sinal de 3x^2-26x-92(x^2-9) em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
Intervalo (-infty,-3) (-3,-tfrac13) (-tfrac13,3) (3,9) (9,infty)
Numerador + + - - +
Denominador + - - + +
Quociente + - + - +
Queremos quociente >=0, ou seja, sinais + ou zero. Zero ocorre em x=-tfrac13 e x=9, e não ocorre em x=pm3 (fora do domínio).
Portanto a solução é
(-infty,-3);cup;l[-tfrac13,,3r);cup;[9,infty)

Resposta

(-infty,-3);cup;l[-tfrac13,,3r);cup;[9,infty)

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