Determine os valores de k na equação:
6 x^2-7 x-(3 k-1)=0, de modo que:
a) a equação admila duas raizes reais e distintas
b) a equação admila duas raizes reais e iguais
c) a equação admita raizes reais
d) a equação nāo admila raizes reais

Passo 1

O enunciado pede para estudar a natureza das raízes da equação do 2º grau
6x^2-7x-(3k-1)=0
em função de k. O conteúdo principal é o discriminante De<a = b^2-4ac, que nos diz quando as raízes são reais ou não e se são iguais ou distintas.

Passo 2

Identificamos os coeficientes:
a=6, b=-7 e
c = -(3k-1) = -3k+1
Logo
De<a = (-7)^2 - 4cdot6cdot(-3k+1) = 49 + 24,(3k-1) = 49 +72k -24 = 25 +72k

Passo 3

Duas raízes reais e distintas ocorrem quando De<a>0. Assim,
25 + 72k > 0 Longrightarrow k > -tfrac2572

Passo 4

Duas raízes reais e iguais (raiz dupla) ocorrem quando De<a=0. Logo,
25 + 72k = 0 Longrightarrow k = -tfrac2572

Passo 5

Admitir raízes reais (sejam iguais ou distintas) é exigir De<a>=0. Portanto,
25 + 72k >= 0 Longrightarrow k >= -tfrac2572

Passo 6

Não admitir raízes reais significa De<a<0. Então,
25 + 72k < 0 Longrightarrow k < -tfrac2572

Resposta

a) k > -tfrac2572
b) k = -tfrac2572
c) k >= -tfrac2572
d) k < -tfrac2572

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