Determine os valores de a e b para que o sistema
l 6 x+a y=12 4 x+4 y=b seja indeterminado

Passo 1

Temos o sistema linear
6x + a,y = 12, 4x + 4,y = b,
e queremos que ele seja indeterminado, isto é, tenha infinitas soluções. Para isso, precisamos que a matriz de coeficientes seja singular (determinante zero) e que o segundo membro seja compatível com essa singularidade.

Passo 2

O determinante da matriz de coeficientes
6 & a 4 & 4 =6cdot4 -4cdot a=24 -4a
deve ser zero para termos infinitas soluções. Logo,
24 -4a =0 Longrightarrow a=6

Passo 3

Com a=6, a primeira equação fica
6x+6y=12
Para que o sistema seja indeterminado e não apenas inconsistente, a segunda equação deve ser múltipla da primeira. Seja k o fator de proporcionalidade tal que
4x+4y = k,(6x+6y)
Comparando coeficientes de x obtemos
4 =6k Longrightarrow k=46=23
Então o termo independente b deve satisfazer
b =kcdot12 =23cdot12 =8

Resposta

a=6 e b=8.

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